over 3 years ago

數學模型是一個數學的模式 用以描述實際的現象
因為數學結構較為嚴謹 因此我們能夠做出許多操作與運算
而這些操作下的結果 應該在現實中會有對應的現象
舉例來說: 牛頓第二定律 F=ma
描述著當我們使用固定的力 不同質量的物體會有相應不同的加速度

當然 這是在理想狀態才會看到的現象
而實際情況下 因為有各種阻力 我們看到的關係式不會如此完美
但整體趨勢可以透過這個公式描述

統計模型是數學模型之一
統計模型的分析主要透過機率架構來操作
探討如何在給定的資料下 對模型進行分析
這些分析包括:
參數的估計 - 透過資料建立一個模型
誤差分析 - 探討估計的成果好與壞
假設檢定 - 測定既有的假設是否和我們觀測的資料吻合
模型檢定 - 檢定我們假設的模型和實際觀測的是否類似
...等等

我突然想到 統計模型還有一個更有趣的用途 就是建立一個有效的模擬方法
實際的現象往往是來自非常複雜的模型
有著各式的擾動 並且產生非線性方程(當成很複雜的系統就好)
古典科學的模型 並沒有機率機制在裡頭
導致我們難以重新模擬出每次觀測不同的成果
但假如我們發現可以用統計模型描述這個現象
我們便能夠透過統計模型的模擬(隨機抽樣)用以作為一種分析的工具

舉例來說: 淡水河每年最高峰的水位
這是一個非常非常複雜的模型
或許一套複雜的非線性模型可以非常精確的描述這個水位的高低
但一個統計模型 可能只需要用一些觀測的資料
就能夠做出合理並且與過去吻合的描述
這樣 我們便能夠透過這個統計模型 產生新的資料 來分析未來的趨勢
我們就不必去思考如何建立那個複雜的非線性模型
這並不意味著我們相信機率模型是"真"的 我們只相信機率模型是"有效"的

但統計模型並不一定永遠是有效的
在一些低誤差的資料上
或著機率架構描述得非常糟糕的情況
我們就不應該使用統計模型

統計模型有它好用的地方
至少在許多問題上 要建構一個有效地描述模型 統計模型是好的候選
即使我們不相信機率架構 許多時候自然現象與社會現象卻能夠被統計模型精簡且有效的描述

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